Kamis, 25 November 2010

Mengapa Perkalian 2 Bilangan Negatif Menghasilkan Bilangan Positif?

Sewaktu masih duduk di bangku SD ataupun di SMP, kita diajarkan bahwa perkalian 2 bilangan negatif akan menghasilkan bilangan positif. Mungkin pada waktu itu kita terheran-heran mengapa bisa demikian halnya. Walaupun demikian, sedikit dari kita yang berani bertanya kepada bapak atau ibu guru kita tentang alasannya. Kalaupun ada diantara kita yang bertanya, banyak di antara guru matematika yang tidak tahu alasannya (mungkin kerena mereka juga tidak pernah bertanya mengapa begitu kepada guru mereka). Jadi kita hanya menerimanya saja tanpa tahu alasannya.
Secara intuisi kita dengan mudah menerima bahwa perkalian bilangan negatif dengan bilangan positif akan menghasilkan bilangan yang negatif juga. Hal ini bisa dengan mudah kita jelaskan dengan contoh sebagai berikut: 5 x -4 = (-4) + (-4) + (-4) + (-4) + (-4) = -20. Tetapi perkalian dua bilangan negatif yang menghasilkan bilangan positif sangatlah tidak intuitif buat kita.
Mau tahu alasannya secara matematika? Inilah selangkah demi selangkah ilustrasi mengapa perkalian 2 bilangan negatif menghasilkan bilangan positif.
  1. Nol dikalikan dengan bilangan apa saja akan sama dengan nol, jadi 0 x N = 0.
  2. Setiap bilangan mempunyai tepat satu bilangan yang disebut Invers Penjumlahan. Ini artinya adalah jika N sebuah bilangan positif, maka –N adalah invers penjumlahannya sehingga N + (-N) = 0. Demikian juga invers penjumlahan dari –N adalah N (karena (-N) + N = 0).
  3. Hukum distributif, yaitu: a x (b+c) = a x b + a x c, juga berlaku untuk bilangan negatif.
  4. Berikutnya, akan diperlihatkan bahwa perkalian bilangan negatif dengan bilangan positif akan menghasilkan bilangan negatif. Untuk “membuktikan”nya kita akan menggunakan argumen nomor 1 sampai dengan 3 di atas. Kita ambil contoh perkalian berikut ini: 3 x ( 4 + (-4) ). Hal ini sama artinya 3 x (0) = 0 (berdasar argumen nomor 1 di atas). Dengan menggunakan hukum distributif (argumen nomor 3) maka perkalian di atas menjadi sebagai berikut 3 x 4 + 3 x (-4) = 0. Berdasar argumen nomor 2, maka dapat diambil kesimpulan 3 x (-4) adalah invers penjumlahan dari 3 x 4. Kita tahu bahwa 3 x 4 = 12, dan invers penjumlahan 12 adalah -12. Maka 3 x (-4) pastilah sama dengan -12. Jadi kita telah ”membuktikan” bahwa perkalian bilangan negatif dengan bilangan positif akan menghasilkan bilangan negatif.
  5. Sekarang akan diperlihatkan bahwa perkalian 2 bilangan negatif akan menghasilkan bilangan positif. Untuk “membuktikan” hal itu kita akan menggunakan argumen nomor 1 sampai dengan 4 di atas. Kita ambil contoh perkalian berikut ini: -3 x ( 7 + (-7) ). Hal ini sama artinya -3 x (0) = 0 (berdasar argumen nomor 1 di atas). Dengan menggunakan hukum distributif (argumen nomor 3) maka perkalian di atas menjadi sebagai berikut -3 x 7 + (-3) x (-7) = 0. Berdasar argumen nomor 2, maka dapat diambil kesimpulan (-3) x (-7) adalah invers penjumlahan dari -3 x 7. Kita tahu bahwa -3 x 7 = -21 (berdasar argumen nomor 4), dan invers penjumlahan -21 adalah 21. Maka (-3) x (-7) pastilah sama dengan 21. Jadi kita telah ”membuktikan” bahwa perkalian 2 bilangan negatif akan menghasilkan bilangan positif.
Indah bukan? Semoga penjelasan di atas tidak membuat pusing dan bingung. Sebagai catatan akhir, pembuktian formal matematika hasil perkalian dua bilangan negatif adalah bilangan positif dikerjakan dengan mempergunakan Teori Field yang cukup rumit untuk dijelaskan disini. Salam.